Question

【題目】閱讀下面材料:小明遇到這樣一個問題：

如圖1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于點D,求證:BC=AB+2BD.

小明利用條件AD⊥BC,在CD上截取DH=BD,如圖2,連接AH,既構造了等腰△ABH，又得到BH=2BD,從而命題得證。

(1)根據閱讀材料,證明:BC=AB+2BD；

(2)參考小明的方法,解決下面的問題：

如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠BCE,∠ABC=∠DCE,請探究AD與BE的數量關系,并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=2AD．

【解析】

（1）由BD=DH，AD⊥BH，得到AB=AH，由等邊對等角得到∠B=∠AHB，再由∠B=2∠C和三角形外角的性質得到∠C=∠CAH，由等角對等邊得到AH=HC，即有AB=HC，從而可以得出結論；

（2）延長DA至點F，使得AF=AD，連接BF．設∠ABD=∠BCE=x，∠ABC=∠DCE=y．

證明BA垂直平分DF，得到BF=BD，∠1=∠DBA=x，進而得到∠FBC=∠ACB，由等角對等邊得到BF=CF，即有BD=FC．由三角形外角的性質得到∠2=∠DCE，則有DE=DC，結合BD=CF，即可得到結論．

（1）∵BD=DH，AD⊥BH，∴AB=AH，∴∠B=∠AHB．

∵∠B=2∠C，∴∠AHB=2∠C=∠C+∠CAH，∴∠C=∠CAH，∴AH=HC，∴AB=HC，∴BC=HC+BH=AB+2BD．

（2）BE=2AD．理由如下：

延長DA至點F，使得AF=AD，連接BF．設∠ABD=∠BCE=x，∠ABC=∠DCE=y．

∵AF=AD，∠BAD=90°，∴BA垂直平分DF，∴BF=BD，∠1=∠DBA=x，∴∠FBC=∠1+∠ABC=x+y，∠ACB=∠DCE+∠ECB=x+y，∴∠FBC=∠ACB，∴BF=CF．

∵BF=BD，∴BD=FC．

∵∠2=∠3+x=∠ABC=y=∠DCE，∴DE=DC．

∵BD=FC，∴BE+DE=2AD+DC，∴BE=2AD．