Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線(xiàn)BD于F，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連接EG、AF．
（1）求EG的長(zhǎng)；
（2）求證：CF=AB+AF．

Answer 1

（1）∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=

DB2+CD2

=2

2

，
∵CE⊥BE，
∠BEC=90°，
∵點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，
∴EG=

1

2

BC=

2

（直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)）．
答：EG的長(zhǎng)是

2

．

（2）證明：在線(xiàn)段CF上截取CH=BA，連接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADF=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADF=∠HDF，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）證明：延長(zhǎng)BA與CD延長(zhǎng)線(xiàn)交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵在△BCD中，∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°，∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
在△AFD和△AMD中
∵

DM=DF ∠ADM=∠ADF AD=AD

，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．