Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．

（1）求證：∠DCP=∠DAP；

（2）如果PE=4，EF=5，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）6．

【解析】

試題分析：（1）根據菱形的對角線平分一組對角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“邊角邊”證明△APD和△CPD全等，然后根據全等三角形對應角相等證明即可；（2）利用兩組角相等則兩三角形相似證明△APE與△FPA相似；根據相似三角形的對應邊成比例及全等三角形的對應邊相等即可得到結論．

試題解析：（1）在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS），∴∠DCP=∠DAP；（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA．∴．即PA2=PEPF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PEPF，∵PE=4，EF=5，∴PF=9，∴PC2=PEPF=36，∴PC=6．