Question

（本小題滿分5分）
已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，聯結EB交OD于點F．

（1）求證：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=5，求AE的長．

Answer 1

解：（1）聯結AD
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠AEB =90°  --- 1分
∵AB=AC，∴CD=BD
∵OA=OB，∴OD//AC
∴OD⊥BE       --------------------------------------- 2分
（2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD="BD,AB=5," DE=
∴AC="AB=5, " BC=2DE=2,         --------------------- 3分
在△ABE、△BCE中，∠CEB=∠AEB=90°，則有
設AE="x," 則           --------------------- 4分
解得：x="3          "
∴AE="3          " -------------------------- 5分
方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF="EF    " ------------------------3分
設AE=x,∴OF=，在△OBF、△BDF中，∠OFB=∠BFD=90°
∴      
∵DE=，AB=5，  ∴    ------4分
解得：x=3，  ∴AE="3                          " ------------5分
方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC,
∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,     ----------------------------3分
∴BC·AD=AC·BE
∵BC=2DE=2，AC=AB=5
∴BE="4" ,                ----------------------------------4分
∴AE="3                   " ------------------------------5分

略