Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 ABCO 是菱形，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（－3，4），點(diǎn) C 在 x 軸的正半軸上，直線 AC 交 y 軸于點(diǎn) M，AB 邊交 y 軸于點(diǎn) H．

（1）求直線 AC 的解析式；

（2）連接 BM，如圖 2，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿折線 ABC 方向以 2 個(gè)單位／秒的速度向終點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB 的面積為 S（S≠0），點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫(xiě)出自變量 t 的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當(dāng) t 為何值時(shí)，∠MPB 與∠BCO 互為余角，并求此時(shí)直線 OP 與直線 AC 所夾銳角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)t＝時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為；當(dāng)t＝時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．

【解析】

（1）已知A點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)OA＝OC，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P的位置應(yīng)分P在AB和BC上兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)P在AB上時(shí)，S＝BPMH；當(dāng)P在BC上時(shí)，S＝P1BBM，據(jù)此面積就可以表示出來(lái)；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)：設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K，證明△AQP∽△CQO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的長(zhǎng)，在直角△OHB中，根據(jù)勾股定理，可以得到tan∠OQC．當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可證△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸垂足為E，如圖（1），

∵A（3，4），

∴AE＝4 ，OE＝3，

∴OA＝＝5，

∵四邊形ABCO為菱形，

∴OC＝OA＝5，

∴C（5，0）

設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx＋b(k≠0)，

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為：；

（2）由（1）得M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

∴OM＝，

如圖（1），當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

由題意得OH＝4，

∴HM＝OHOM＝4=，

∴S＝BPMH＝（52t）·=t+（0≤t＜），

當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記為P1，

∵∠OCM＝∠BCM，CO＝CB，CM＝CM，

∴△OMC≌△BMC，

∴OM＝BM＝，∠MOC＝∠MBC＝90°，

∴S＝P1BBM＝（2t5）·=t（＜t≤5），

綜上所述： ；

（3）設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K，

∵∠AOC＝∠ABC，

∴∠AOM＝∠ABM，

∵∠MPB＋∠BCO＝90°，∠BAO＝∠BCO，∠BAO＋∠AOH＝90°，

∴∠MPB＝∠AOH，

∴∠MPB＝∠MBH．

當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），

∵∠MPB＝∠MBH，

∴PM＝BM，

∵MH⊥PB，

∴PH＝HB＝2，

∴PA＝AHPH＝1，

∴t＝，

∵AB∥OC，

∴∠PAQ＝∠OCQ，

∵∠AQP＝∠CQO，

∴△AQP∽△CQO，

∴，

在Rt△AEC中，AC＝，

∴AQ＝，QC＝，

在Rt△OHB中，OB＝，

∵AC⊥OB，OK＝KB，AK＝CK，

∴OK＝，AK＝KC＝，

∴QK＝AKAQ＝，

∴tan∠OQC＝；

當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（3），

∵∠BHM＝∠PBM＝90°，∠MPB＝∠MBH，

∴tan∠MPB＝tan∠MBH，

∴，即，

∴BP＝，

∴t＝，

∴PC＝BCBP＝5＝．

由PC∥OA，同理可證△PQC∽△OQA，

∴，

∴CQ＝AC＝，

∴QK＝KCCQ＝，

∵OK＝，

∴tan∠OQK＝，

綜上所述，當(dāng)t＝時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為；當(dāng)t＝時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．

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