Question

世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示，則排在第十行的第四個數是

 

，世界上著名的萊布尼茨三角形通項公式第四列通項公式為

 

．

Answer 1

分析：觀察不難發現，下一行的第一、二個數的和等于上一行的第一個數，第二、三個數的和為上一行的第二個數，依此類推分別求出第8、9、10行的第一、二、三、四個數，并根據求解方法用上一行的第四個數表示出下一行的第四個數，再寫出第四列數的通項公式即可．

解答：解：第8行的第一個數為

1

8

，第二個數為

1

7

-

1

8

=

1

56

，第三個數為

1

42

-

1

56

=

1

168

，第四個數為

1

105

-

1

168

=

1

280

，
第9行的第一個數為

1

9

，第二個數為

1

8

-

1

9

=

1

72

，第三個數為

1

56

-

1

72

=

1

252

，第四個數為

1

168

-

1

252

=

1

504

，
第10行的第一個數為

1

10

，第二個數為

1

9

-

1

10

=

1

90

，第三個數為

1

72

-

1

90

=

1

360

，第四個數為

1

252

-

1

360

=

1

840

，
∵

1

4

×

1

5

=

1

20

，

1

20

×

2

6

=

1

60

，

1

60

×

3

7

=

1

140

，

1

140

×

4

8

=

1

280

，

1

280

×

5

9

=

1

504

，

1

504

×

6

10

=

1

840

，
∴第n行的第四個數為

1

4

×（

1

5

×

2

6

×

3

7

×

4

8

×

5

9

×

6

10

×…×

n-4

n

）=

1

4

×

1×2×3×4

n(n-1)(n-2)(n-3)

=

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

，
所以，排在第十行的第四個數是

1

840

，通項公式第四列通項公式為

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

．
故答案為：

1

840

，

6

n(n-1)(n-2)(n-3)

．

點評：本題是對數字變化規律的考查，觀察出下一行的相鄰的兩個與上一行的數的關系是解題的關鍵，求第四列數的通項時，難點在于觀察出用上一行的數表示出下一行的數所乘的分數．