Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，現(xiàn)將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O處，兩直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，然后將三角板繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度反（0°＜a＜90°），旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H，四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖1所示）．那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）如圖1，線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？請說明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的理由．
（2）如圖2，連接HK，
①若AK=12，BH=5，求△OKH的面積；
②若AC=BC=4，設(shè)BH=x，當(dāng)△CKH的面積為2時，求x的值，并說出此時四邊形CHOK是什么特殊四邊形．

Answer 1

分析：（1）本題關(guān)鍵是要證△OCK≌△OBH，連接CO，因?yàn)椤鰽CB是等腰直角三角形，故CO⊥AB，得CO=OB，∠B=∠OCK，及旋轉(zhuǎn)角相等，得出△OCK≌△OBH，故BH=CK，四邊形CHOK的面積等于三角形ACB面積的一半．
（2）①由△OCK≌△OBH，得出OK=OH，所以△OKH是等腰直角三角形，所以△OKH的面積=

1

4

KH2，求得KH就可求得面積．
②由AC=BC=4，BH=x，可得，CH=4-x，由面積公式可得關(guān)于x的方程x²-4x+4=0，解得x=2，又∠KOH=90°，所以四邊形CHOK是正方形．

解答：解：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHOK的面積始終保持不變，其值為△ABC面積的一半．
理由如下：連接OC，
∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點(diǎn)，CO⊥AB，
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB．
又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠COK=∠BOH=a，
∴△COK≌△BOH（ASA）．
∴BH=CK，S_{四邊形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=

1

2

S_△ABC

（2）①由（1）知，BH=CK=5，AK=CH=12，
在Rt△CKH中，∠C=90°，KH=

52+122

=13（KH＞0），
∴S_△OKH=

1

2

OK•OH=

1

4

KH²=

169

4

．

②由（1）知，CK=BH=x，
∵BC=4，
∴CH=4-x．
∵根據(jù)題意，得S_△CKH=

1

2

CH．CK=2，

1

2

（4-x）x=2，
即x²-4x+4=0，
解得x=2（0＜x＜4）．
即CK=CH=BH=2，
∵AC=BC=4，∠A=∠B=45°，
∴CH=BH=2，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴OH∥AC，
∴∠OHB=∠C=90°，
∵∠B=45°=∠HOB，
∴OH=BH=2，
同理CK=AK=OK=2，
即CK=OK=KH=CH=2，∠C=90°，
∴四邊形CHOK是正方形，
即當(dāng)△CKH的面積為2時，x的取值是2，此時四邊形CHOK是正方形．

點(diǎn)評：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，要知道如何判定三角形全等，同學(xué)們在解題時，一定要認(rèn)真觀察圖象．