Question

【題目】如圖所示，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B，大圓的弦BC⊥AB于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作大圓的切線CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接OC交小圓于點(diǎn)E，連接BE、BO．
（1）求證：△AOB∽△BDC；
（2）設(shè)大圓的半徑為x，CD的長(zhǎng)為y： ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)BE與小圓相切時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

∵AB與小圓相切于點(diǎn)A，CD與大圓相切于點(diǎn)C，

∴∠OAB=∠OCD=90°，

∵BC⊥AB，

∴∠CBA=∠CBD=90°，

∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，

又∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠1=∠2，

∴△AOB∽△BDC

（2）解：

①過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形OABF是矩形，

∴BF=OA=1，

由垂徑定理，得BC=2BF=2，

在Rt△AOB中，OA=1，OB=x

∴AB= ，

由（1）得△AOB∽△BDC

∴ ，即 ，

∴y= ；

②當(dāng)BE與小圓相切時(shí)，OE⊥BE，

∵OE=1，OC=x，

∴EC=x﹣1，BE=AB= ，

在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得：EC2+BE2=BC2，

即（x﹣1）2+（ ）2=22，

解得：x1=2，x2=﹣1（舍去），

∴當(dāng)BE與小圓相切時(shí)，x=2．

【解析】（1）由AB與小圓相切，CD與大圓相切，根據(jù)切線性質(zhì)可得∠OAB與∠OCD相等，都為直角，又BC與AB垂直，根據(jù)垂直定義得到∠CBA與∠CBD都為直角，則∠1+∠OBC與∠2+∠OCB和都為90°，由OC=OB，根據(jù)“等邊對(duì)等角”得到∠OBC=∠OCB，根據(jù)等角的余角相等，得到∠1=∠2，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得證；（2）①過(guò)O作OF垂直于BC，由三個(gè)角都為直角的四邊形為矩形得到ABOF為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得到FB=OA，由OA的長(zhǎng)得到FB的長(zhǎng)，又BC為大圓的弦，利用垂徑定理得到BC=2BF，從而求出BC的長(zhǎng)，在直角三角形OAB中，由OA=1，OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到的三角形相似得比例，把相應(yīng)的值代入即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；②當(dāng)BE與小圓相切時(shí)，根據(jù)切線性質(zhì)得到OE與BE垂直，由OE和OC表示出EC的長(zhǎng)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BE=BA，表示出EB，在直角三角形ECB中，由EC，EB及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和垂徑定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．