Question

課堂上，老師將圖①中△AOB繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和大小不變，但位置發(fā)生了變化．當(dāng)△AOB旋轉(zhuǎn)90°時，得到∠A₁OB₁．已知A（4，2），B（3，0）．
（1）△A₁OB₁的面積是

 

；A₁點的坐標(biāo)為（

 

）；B₁點的坐標(biāo)為（

 

）；
（2）課后，小玲和小惠對該問題繼續(xù)進行探究，將圖②中△AOB繞AO的中點C（2，1）逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′，設(shè)O′B′交OA于D，O′A′交x軸于E．此時A′，O′和B′的坐標(biāo)分別為（1，3），（3，-1）和（3，2），且O′B′經(jīng)過B點．在剛才的旋轉(zhuǎn)過程中，小玲和小惠發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的三角形與△AOB重疊部分的面積不斷變小，旋轉(zhuǎn)到90°時重疊部分的面積（即四邊形CEBD的面積）最小，求四邊形CEBD的面積；
（3）在（2）的條件下，△AOB外接圓的半徑等于

 

．

Answer 1

分析：（1）如圖1，作AE⊥OE，垂足為點E，作A₁F⊥OF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△OAE≌△OA₁F，有A₁F=AE=2，OF=OE=4，OB₁=OB，∴點A₁的坐標(biāo)為（-2，4），點B₁的坐標(biāo)為（0，3），∴S_△OB1A1=

1

2

OB₁•A₁F=3；
（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x軸于H，易得四邊形CHBG為正方形，有∠CHE=∠CGD=90°，CH=CG，∠HCE=∠GCD，∴由ASA證得△HCE≌△GCD，有S_{四邊形CEBD}=S_{正方形CHBG}=1；
（3）由垂徑定理知，△AOB的外接圓的圓心應(yīng)為OB與OA的中垂線的交點．OB的中垂線的解析式為x=

3

2

，OA的中垂線是點A′，點O′確定的，可由待定系數(shù)法求得OA的中垂線的解析式為y=-2x+5，所以圓心的坐標(biāo)為（

3

2

，4），由勾股定理求得OA=

5

2

，即△AOB的外接圓的半徑為

5

2

．

解答：解：（1）3，A₁（-2，4），B₁（0，3）；

（2）作CG⊥BD于G，CH⊥x軸于H，
∵B'，B的橫坐標(biāo)相等，
∴B'B⊥x軸，
∴四邊形CHBG為矩形．
∵C（2，1），B（3，0）
∴CG=1，
∴G（3，1），
∴GB=1，
∴CG=CH=1，
∴矩形CHBG為正方形．
∴∠HCG=90度．
∵∠ECD=90°，
∴∠HCE+∠ECG=∠GCD+∠ECG=90°
∴∠HCE=∠GCD．
在△HCE和△GCD中，

∠CHE=∠CGD=90° CH=CG ∠HCE=∠GCD

∴△HCE≌△GCD．
∴S_{四邊形CEBD}=S_{正方形CHBG}=1；

（3）由垂徑定理知，△AOB的外接圓的圓心應(yīng)為OB與OA的中垂線的交點．
OB的中垂線的解析式為x=

3

2

，
設(shè)OA的中垂線的解析式為y=kx+b，把點A′，O′的坐標(biāo)代入得

3=k+b -1=3k+3

，
解得，k=-2，b=5，即OA的中垂線的解析式為y=-2x+5，
所以圓心的坐標(biāo)為（

3

2

，2），△AOB的外接圓的半徑=

( 3 2 )2+22

=

5

2

．

點評：本題利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法確定直線的解析式，勾股定理求解．