Question

【題目】如圖1，在坐標平面中，A(－6，0)、B(6，0)，點 C 在 y 軸正半軸上，且∠ACB＝90．

⑴求點 C 的坐標；

⑵如圖2，點 P 為線段 BC 上一點，連接 PA，設點 P 的橫坐標為 m，△PAC 的面積為 S，用含 m 的代數式來表示 S；

⑶如圖3，在⑵的條件下，過點 B 向 PA 引垂線，垂足為 E，延長 BE、AC 相交于點 F，連接PF，若 PF＝3，求 m 的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，6）；（2）S，（3）.

【解析】

(1)由A(－6，0)、B(6，0)，得：OA=OB=6，進而得到∠CAO=∠ACO=45°，OC=OA=6，即可求解；

(2)過點P作PM⊥y軸，垂足為M，如圖1，易證PCM是等腰直角三角形，即：CP=，由AOC是等腰三角形，得AC=，根據三角形得面積公式，即可求解；

(3)易證BCFACP，從而可得PCF是等腰直角三角形，過點P作PM⊥y軸，垂足為M，如圖2，可知：PCM是等腰直角三角形，進而可求出m的值.

（1）∵在坐標平面中，A(－6，0)、B(6，0)，

∴OA=OB=6，

∴OC垂直平分AB，

∴AC=BC，

∵∠ACB＝90，

∴∠CAO=∠ACO=45°（等腰三角形三線合一），

∴OC=OA=6，

∵點 C 在 y 軸正半軸上，

∴點 C 的坐標是（0，6）

（2）過點P作PM⊥y軸，垂足為M，如圖1，

由（1）可知：∠BCO=∠ACO=45°，

∵PM⊥y軸，

∴PCM是等腰直角三角形，

∵點 P 為線段 BC 上一點，點 P 的橫坐標為 m，

∴MP=m，

∴CP=，

∵AOC是等腰三角形，

∴AC=

∵ ∠ACB＝90，

∴S=，

（3）∵BE ⊥AP，∠ACB＝90，

∴∠CBF+∠BFC=90°，∠CAP+∠BFC=90°，

∴∠CBF=∠CAP

在BCF和ACP中，

∵

∴BCFACP（ASA），

∴CF=CP，

∴PCF是等腰直角三角形，

∵PF=3，

∴PC=PF÷=3÷=，

過點P作PM⊥y軸，垂足為M，如圖2，

由（2）可知：PCM是等腰直角三角形，

∴PM=PC，即：m=，

∴m=

圖1 圖2