Question

【題目】△ABC中，三個內角的平分線交于點O，過點O作OD⊥OB，交邊BC于點D．
（1）如圖1，猜想∠AOC與∠ODC的關系，并說明你的理由；
（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點F． ①求證：BF∥OD；
②若∠F=35°，求∠BAC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AOC=∠ODC，

理由：∵三個內角的平分線交于點O，

∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°﹣∠ABC），

∵∠OBC= ∠ABC，

∴∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）=90°+ ∠ABC=90°+∠OBC，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠ODC=90°+∠OBD，

∴∠AOC=∠ODC

（2）解：①∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF= ∠ABE= （180°﹣∠ABC）=90°﹣∠DBO，

∵∠ODB=90°﹣∠OBD，

∴∠FBE=∠ODB，

∴BF∥OD；

②∵BF平分∠ABE，

∴∠FBE= ∠ABE= （∠BAC+∠ACB），

∵三個內角的平分線交于點O，

∴∠FCB= ∠ACB，

∵∠F=∠FBE﹣∠BCF= （∠BAC+∠ACB）﹣ ∠ACB= ∠BAC，

∵∠F=35°，

∴∠BAC=2∠F=70°

【解析】（1）根據角平分線的定義得到∠OAC+∠OCA= （180°﹣∠ABC），∠OBC= ∠ABC，由三角形的內角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到結論；（2）①由角平分線的性質得到∠EBF=90°﹣∠DBO，由三角形的內角和得到∠ODB=90°﹣∠OBD，于是得到結論；②由角平分線的性質得到∠FBE （∠BAC+∠ACB），∠FCB= ACB，根據三角形的外角的性質即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的判定和三角形的內角和外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．