Question

（2013•黃岡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也同時(shí)從點(diǎn)B沿B→C→O的線路以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以O(shè)，P，Q頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值（或范圍），若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出△OPQ的高，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可；
（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，得出若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，Q在OC邊上運(yùn)動(dòng)，得出△OPQ不可能為直角三角形；
（4）首先求出拋物線對(duì)稱(chēng)軸以及OB直線解析式和PM的解析式，得出

3

（1-t）×

3

=3-t-2t，恒成立，即0≤t≤2時(shí)，P，M，Q總在一條直線上，再利用2＜t≤3時(shí)，求出t的值，根據(jù)t的取值范圍得出答案．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

）三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

36a+6b+c=0 9a+3b+c= 3 a+b+c= 3

，
解得：

a=- 3 15 b= 4 3 15 c= 4 3 5

，
即所求拋物線解析式為：y=-

3

15

x²+

4 3

15

x+

4 3

5

；

（2）如圖1，依據(jù)題意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到OC邊時(shí)，OQ=4-t，
∴△OPQ的高為：OQ×sin60°=（4-t）×

3

2

，
又∵OP=2t，
∴S=

1

2

×2t×（4-t）×

3

2

=-

3

2

（t²-4t）（2≤t≤3）；

（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OP=2t，OQ=

3+(3-t)2

，
PQ=

3+[2t-(3-t)]2

=

3+(3t-3)2

，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則OP²+PQ²=QO²，即4t²+3+（3t-3）²=3+（3-t）²，
解得：t₁=1，t₂=0（舍去），
若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如圖，3，則OQ²+PQ²=PO²，即（3-t）²+6+（3t-3）²=4t²，
解得：t=2，
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，Q在OC邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當(dāng)t=1或t=2時(shí)，△OPQ為直角三角形；

（4）由（1）可知，拋物線y=-

3

15

x²+

4 3

15

x+

4 3

5

=-

3

15

（x-2）²+

16 3

15

，
其對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
又∵OB的直線方程為y=

3

3

x，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸與OB交點(diǎn)為M（2，

2 3

3

），
又∵P（2t，0）
設(shè)過(guò)P，M的直線解析式為：y=kx+b，
∴

2 3 3 =2k+b k×2t+b=0

，
解得：

k= 3 3(1-t) b= -2 3 t 3(1-t)

，
即直線PM的解析式為：y=

3

3(1-t)

x-

2 3 t

3(1-t)

，
即

3

（1-t）y=x-2t，
又0≤t≤2時(shí)，Q（3-t，

3

），代入上式，得：

3

（1-t）×

3

=3-t-2t，恒成立，
即0≤t≤2時(shí)，P，M，Q總在一條直線上，
即M在直線PQ上；
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，OQ=4-t，∠QOP=60°，
∴Q（

4-t

2

，

3 (4-t)

2

），
代入上式得：

3 (4-t)

2

×

3

（1-t）=

4-t

2

-2t，
解得：t=2或t=

4

3

（均不合題意，舍去）．
∴綜上所述，可知過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸OB和PQ能夠交于一點(diǎn)，此時(shí)0≤t≤2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想得出t的值是解題關(guān)鍵．