Question

（2002•濰坊）如圖，點M、N分別是?ABCD的DC、CB邊的中點，連接AM、AN，分別交□ABCD的對角線BD于E、F點，
（1）求證：點E、F是線段BD的三等分點；
（2）若?ABCD的面積為S，求△AMN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形的性質，先證明△DEM∽△BEA，△BNF∽△DFA，再根據相似三角形的性質得出點E、F是線段BD的三等分點；
（2）根據S_△AMN=S_{四邊形ABCD}-S_△AMD-S_△NMC+S_△ABN可求．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形和△DEM∽△BEA
又∵M為DC的中點，所以DM：AB=1：2，∴DE：BE=1：2
即E是DB的三等分點
同理△BNF∽△DFA
由N為BC的中點，得F是DB的三等分點．
所以E，F為線段BD的三等分點．

（2）解：因為M．N是DC和CB的中點，
在△ABC中，S_△AMD=S_△ABN=S_{四邊形ABCD}=，
S_△NMC=S_△BCD=S_{四邊形ABCD}=S
所以S_△AMN=S_{四邊形ABCD}-S_△AMD-S_△NMC+S_△ABN=S---S==．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質．要熟悉相似三角形的性質：相似三角形的面積比是相似比的平方．