Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.

(1)求證：DE＝DF.

(2)問：如果DE，DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線，那么它們還相等嗎？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）相等，理由見解析

【解析】試題分析：（1）D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE=DF．

（2）由（1）知，∠DAE＝∠DAF，∠ADB＝∠ADC＝90°，由角平分線定義知∠ADE=∠ADF，再由ASA證明△ADE與△ADF全等，即可得證.

試題解析：（1）∵D是BC的中點，AB＝AC，

∴AD是等腰三角形ABC的角平分線，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

（2）相等．理由如下：

由（1）知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵DE，DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線，

∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，

∴∠ADE＝∠ADF.

在△ADE和△ADF中， ，

∴△ADE≌△ADF(ASA)．

∴DE＝DF.