Question

【題目】已知：拋物線y=x2+（b﹣1）x﹣5．
（1）寫(xiě)出拋物線的開(kāi)口方向和它與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，求b的值，并畫(huà)出拋物線的草圖（不必列表）；
（3）如圖，若b＞3，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P（﹣1，c）作直線PA⊥y軸，垂足為A，交拋物線于另一點(diǎn)B，且BP=2PA，求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=1＞0，

∴拋物線開(kāi)口向上，

當(dāng)x=0時(shí)，y=02+（b﹣1）×0﹣5=﹣5，

∴它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5）

（2）

解：拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

∴﹣ =﹣ =1，

解得b=﹣1，

故拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣5；

圖象如下：

（3）

解：∵b＞3，

∴拋物線的對(duì)稱軸x=﹣ =﹣ ＜﹣1，

∴對(duì)稱軸在點(diǎn)P的左側(cè)，

∵直線PA⊥y軸，且P（﹣1，c），BP=2PA，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，c），

把點(diǎn)B（﹣3，c）、P（﹣1，c）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+（b﹣1）x﹣5得，

，

解得 ，

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=x2+4x﹣5；

[或：∵點(diǎn)B（﹣3，c）、P（﹣1，c），

∴BP的中點(diǎn)（﹣2，c）在拋物線的對(duì)稱軸上，

∴﹣ =﹣ =﹣2，解得b=5．]

【解析】（1）根據(jù)a值大于0，判斷拋物線的開(kāi)口向上，令x=0求出函數(shù)值y，就是拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)對(duì)稱軸解析式列式求出b的值，從而得到拋物線解析式，再根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與頂點(diǎn)坐標(biāo)作出草圖即可；（3）先根據(jù)b＞3判斷出點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，然后根據(jù)BP=2PA求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出b、c的值，即可寫(xiě)出該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式．[或者根據(jù)點(diǎn)BP的中點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，利用對(duì)稱軸解析式列式進(jìn)行計(jì)算求解b的值．]
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．