Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，
DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD．下列結論：
①AC+CE=AB；②CD=

1

2

AE；③∠CDA=45°；④

AM

AC+AB

為定值．
其中正確的結論有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：過E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，過D作DH⊥AB于H，根據角平分線性質求出CE=EQ，DM=DH，根據勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根據等腰三角形的性質和判定求出BQ=QE，即可求出①；根據三角形外角性質求出∠CND=45°，證△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②③；證△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出④．

解答：解：過E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴①正確；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=

1

2

∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDN=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=

1

2

AE，
∴②正確，③正確；
過D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
∴AM=AH，
在△DCM和△DBH中
∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，
∴

AC+AB

AM

=

AC+AH+BH

AM

=

AC+AM+CM

AM

=

2AM

AM

=2，即

AM

AC+AB

=

1

2

，
∴④正確．
故選D．

點評：本題主要考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．