Question

【題目】在探索三角形全等的條件時，老師給出了定長線段a，b，且長度為b的邊所對的角為n°(0＜n＜90°)小明和小亮按照所給條件分別畫出了圖1中的三角形，他們把兩個三角形重合在一起(如圖2)，其中AB＝a，BD＝BC＝b，發(fā)現(xiàn)它們不全等，但他們對該圖形產(chǎn)生了濃厚興趣，并進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

(1)當(dāng)n＝45時(如圖2)，小明測得∠ABC＝65°，請根據(jù)小明的測量結(jié)果，求∠ABD的大小；

(2)當(dāng)n≠45時，將△ABD沿AB翻折，得到△ABD′(如圖3)，小明和小亮發(fā)現(xiàn)∠D′BC的大小與角度n有關(guān)，請找出它們的關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖4，在(2)問的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)B作AD′的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長AE到點(diǎn)F，使得EF＝(AD+AC)，連接BF，請判斷△ABF的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)25°；(2)∠D'BC=180°﹣2n°，證明見解析；(3)等腰三角形，證明見解析.

【解析】

(1)先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠C＝70°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠BDC＝70°，從而得∠CBD的度數(shù)，可得結(jié)論；(2)設(shè)∠BDC＝∠C＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)分別表示∠ABD和∠DBC，相加可得結(jié)論；(3)作垂線BT，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：BE＝BT，證明Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)，得AE＝AT，證明BE是AF的垂直平分線，可得結(jié)論.

解：(1)如圖2，△ABC中，∠A＝n°＝45°，∠ABC＝65°，

∴∠C＝180°﹣45°﹣65°＝70°，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠C＝70°，

∴∠DBC＝180°﹣2×70°＝40°，

∴∠ABD＝65°﹣40°＝25°；

(2)如圖3，∠D'BC＝180°﹣2n°，理由是：

設(shè)∠BDC＝∠C＝α，

∴∠DBC＝180°﹣2α，

△ADB中，∠BDC＝∠DAB+∠ABD，

即α＝n°+∠ABD，

∴∠ABD＝α﹣n°，

由翻折得：∠ABD'＝∠ABD＝α﹣n°，

∴∠D'BC＝∠D'BD+∠DBC＝2∠ABD+∠DBC＝2(α﹣n°)+(180°﹣2α)＝180°﹣2n°；

(3)△ABF是等腰三角形，且BF＝AB，理由是：

如圖4，過B作BT⊥AC于T，

由折疊得：∠D'BC＝∠DAB，

∵BE⊥AF，

∴BE＝BT，

在Rt△ABE和Rt△ABT中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)，

∴AE＝AT，

∵AD＝AD'，

∴DT＝D'E＝TC，

∴＝AT，

∵EF＝，

∴AT＝EF＝AE，

∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分線，

∴BF＝AB，

∴△ABF是等腰三角形.