Question

【題目】運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．

（1）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，M是底邊BC上的任意一點，點M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2．請用面積法證明：h1+h2=h；

（2）當點M在BC延長線上時，h1、h2、h之間的等量關系式是　 　；（直接寫出結論不必證明）

（3）如圖2在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=x+3、l2：y=﹣3x+3，若l2上的一點M到l1的距離是1，請運用（1）、（2）的結論求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）h1﹣h2=h；（3）點M的坐標為（，2）或（，4）．

【解析】試題分析：(1)、根據△ABC的面積的兩種不同的計算方法得出三條線段之間的關系；(2)、根據第一題同樣的方法得出答案；(3)、首先分別求出點A、點B和點C的坐標，然后求出AB的長度，得出△ABC為等腰三角形，然后分點M在BC邊上和點M在CB的延長線上兩種情況分別求出點M的坐標．

試題解析：解：(1)、∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2， 又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，

∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2， ∴h1+h2=h．

(2)、h1﹣h2=h．

(3)、在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，則：

A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）， AB==5，AC=5，

所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形．

①當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：

1+My=OB，My=3﹣1=2，把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=， ∴M（，2）；

②當點M在CB延長線上時，由h1﹣h2=h得：My﹣1=OB，My=3+1=4，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣， ∴M（﹣，4），

∴點M坐標為（，2）或（，4）．