Question

小明在證明“等腰三角形底邊上的高線、底邊上的中線和頂角的平分線互相重合”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”、“求證”（如圖）．
（1）請你幫助小明完成證明過程．
（2）請你作出判斷：小明寫出的“已知”、“求證”是否完整？在橫線上填“是”或“否”．

是

（3）做完（1）后，小明模仿老師上課時的方法，又提出了如下幾個問題：
如：①若將題中“AD⊥BC”與“AD平分∠ABC”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中“AD⊥BC”與“BD=CD”的位置交換，得到的是否仍是真命題？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①

是

 ②

是

 并對②的判斷作出證明．（若是則寫出證明過程；若不是則舉出一個反例）

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根據“HL”得到Rt△ADB≌Rt△ADC，則∠BAD=∠CAD，BD=CD，即AD平分∠BAC；
（2）小明寫出的“已知”、“求證”是完整的；
（3）若將題中“AD⊥BC”與“AD平分∠ABC”的位置交換或將題中“AD⊥BC”與“BD=CD”的位置交換，得到的結論仍是真命題，利用三角形全等的判定與性質進行證明．

解答：（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB和Rt△ADC中

AB=AC AD=AD

，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∴AD平分∠BAC；
（2）是；
（3）①若將題中“AD⊥BC”與“AD平分∠ABC”的位置交換，得到的仍是真命題；
②若將題中“AD⊥BC”與“BD=CD”的位置交換，得到的仍是真命題；
證明如下：在△ADB和△ADC中

AB=AC AD=AD BD=CD

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC．

點評：本題考查了命題：判斷一件事物的語句叫命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題．也考查了三角形全等的判定與性質．