Question

【題目】如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∠BCD與∠ACE互余；又∠ACE與∠CAE互余

∴∠BCD=∠BAC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∴∠ACO=∠BCD

（2）解：設⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，

CE= CD= ×24=12cm，

在Rt△CEO中，由勾股定理可得

OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122

解得R=13，∴2R=2×13=26cm．

答：⊙O的直徑為26cm．

【解析】（1）根據垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．（2）根據勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．