Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8

2

，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
（1）在此運動變化的過程中，△DFE是

等腰直角

三角形；
（2）若AD=

2

，求△DFE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接CF，證△ADF≌△CEF，推出EF=DF，∠CFE=∠AFD，即可求出答案；
（2）求出四邊形CDFE的面積等于△AFC的面積，求出△AFC的面積即可．

解答：（1）解：△DEF是等腰直角三角形，
理由是：連接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為AB中點，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵在△ADF和△CEF中

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．

②解：當(dāng)D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8

2

，由勾股定理得：AB=16，
∴AF=CF=

1

2

AB=8，
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC=

1

2

×8×8=32，
∴△DFE的面積S=S_{四邊形CEFD}-S_三角形DCE=32-

1

2

×8

2

×

2

=25．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的應(yīng)用．