Question

如圖,拋物線（b,c是常數,且c＜0）與軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側）,與軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(－1,0)．

（1）請直接寫出點OA的長度;
（2）若常數b,c滿足關系式：．求拋物線的解析式．
（3）在（2）的條件下,點P是軸下方拋物線上的動點,連接PB、PC．設△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍;
②若△PBC的面積S為整數,則這樣的△PBC共有多少個（直接寫出結果）？

Answer 1

（1）OA=1;（2）拋物線的解析式;（3）①0＜S＜5;②+c,﹣2c;11．

試題分析：（1）由點A的坐標為(－1,0)可得：OA=1;
（2）根據拋物線過點A (－1,0),得到：b = c+,聯立,求出b,c的值即可;
（3）①分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時;（Ⅱ）當0＜x＜4時;
②由0＜S＜5,S為整數,得出S=1,2,3,4．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時,（Ⅱ）當0＜x＜4時．
試題解析：（1）OA=1;
（2）∵拋物線過點A (－1,0),
∴b=c+,
∵,
∴,
∵c＜0,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式;
（3）①設點P坐標為（x,）．
∵點A的坐標為（﹣1,0）,點B坐標為（4,0）,點C坐標為（0,﹣2）,
∴AB=5,OC=2,直線BC的解析式為y=x﹣2．
分兩種情況：
（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時,0＜S＜S_△ACB．
∵S_△ACB=AB•OC=5,
∴0＜S＜5;
（Ⅱ）當0＜x＜4時,過點P作PG⊥x軸于點G,交CB于點F．
∴點F坐標為（x,x﹣2）,
∴PF=PG﹣GF=﹣（x²﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x²+2x,
∴S=S_△PFC+S_△PFB=PF•OB=（﹣x²+2x）×4=﹣x²+4x=﹣（x﹣2）²+4,
∴當x=2時,S_最大值=4,
∴0＜S≤4．
綜上可知0＜S＜5;
②∵0＜S＜5,S為整數,
∴S=1,2,3,4．
分兩種情況：
（Ⅰ）當﹣1＜x＜0時,設△PBC中BC邊上的高為h．
∵點A的坐標為（﹣1,0）,點B坐標為（4,0）,點C坐標為（0,﹣2）,
∴AC²=1+4=5,BC²=16+4=20,AB²=25,
∴AC²+BC²=AB²,∠ACB=90°,BC邊上的高AC=．
∵S=BC•h,∴h=．
如果S=1,那么h=×1=＜,此時P點有1個,△PBC有1個;
如果S=2,那么h=×2=＜,此時P點有1個,△PBC有1個;
如果S=3,那么h=×3=＜,此時P點有1個,△PBC有1個;
如果S=4,那么h=×4=＜,此時P點有1個,△PBC有1個;
即當﹣1＜x＜0時,滿足條件的△PBC共有4個;
（Ⅱ）當0＜x＜4時,S=﹣x²+4x．
如果S=1,那么﹣x²+4x=1,即x²﹣4x+1=0,
∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有兩個不相等的實數根,此時P點有2個,△PBC有2個;
如果S=2,那么﹣x²+4x=2,即x²﹣4x+2=0,
∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有兩個不相等的實數根,此時P點有2個,△PBC有2個;
如果S=3,那么﹣x²+4x=3,即x²﹣4x+3=0,
∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有兩個不相等的實數根,此時P點有2個,△PBC有2個;
如果S=4,那么﹣x²+4x=4,即x²﹣4x+4=0,
∵△=16﹣16=0,∴方程有兩個相等的實數根,此時P點有1個,△PBC有1個;
即當0＜x＜4時,滿足條件的△PBC共有7個;
綜上可知,滿足條件的△PBC共有4+7=11個．
故答案為+c,﹣2c;11．
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