Question

【題目】在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線分別交BC邊于點M、N．

(1)如圖①，若△AMN是等邊三角形，則∠BAC=　 　°；

(2)如圖②，若∠BAC=135°，求證：BM2+CN2=MN2．

(3)如圖③，∠ABC的平分線BP和AC邊的垂直平分線相交于點P，過點P作PH垂直BA的延長線于點H．若AB=4，CB=10，求AH的長．

Answer 1

【答案】1200

【解析】

（1）先求出∠AMN=60°，再利用垂直平分線求出∠B=30°，同理求出∠C=30°，最后利用三角形內角和定理即可得出結論；

（2）先判斷出∠B+∠C=45°，進而求出∠MAN=90°，即可得出結論；

（3）先判斷出Rt△APH≌Rt△CPE，進而判斷出Rt△BPH≌Rt△BPE，即可得出結論．

解：（1）如圖①，∵△AMN是等邊三角形，

∴∠AMN=60°，

∵MG是AB的垂直平分線，

∴AM=AM，

∴∠B=∠BAM=30°

同理：∠C=30°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°

故答案為120；

（2）如圖①，連接AM、AN

∵∠BAC=135°

∴∠B+∠C=45°，

又∵點M在AB的垂直平分線上

∴AM=BM

∴∠BAM=∠B，

同理AN=CN，∠CAN=∠C

∴∠BAM+∠CAN=45°

∴∠MAN=90°，

∴AM2+AN2=MN2；

∴BM2+CN2=MN2；

（3）如圖②，連接AP、CP，過點P作PE⊥BC于點E

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC

∴PH=PE

∵點P在AC的垂直平分線上

∴AP=CP

在Rt△APH和Rt△CPE中

∴Rt△APH≌Rt△CPE

∴AH=CE，

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC

∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°

∵BP=BP

∴Rt△BPH≌Rt△BPE

∴BH=BE，

∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH

∴AH=（BC-AB）÷2=3．