Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，經過點、，過點作軸的平行線交拋物線于另一點．

(1)求拋物線的表達式及其頂點坐標；

(2)如圖，點是第一象限中上方拋物線上的一個動點，過點作于點，作軸于點，交于點，在點運動的過程中，的周長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖，連接，在軸上取一點，使和相似，請求出符合要求的點坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點坐標為；（2）最大值為；（3）滿足條件的點有，．

【解析】

（1）將A（1，3），B（0，1），代入拋物線y=x2+bx+c，即可得出答案；

（2）延長CA交y軸于點D，由點C（4，3）可求得＝，由tan∠C=tan∠M＝＝，設M（a，a2+a+1），求得F(a，a+1)，則MF=a2+2a，由勾股定理得，FH＝MF，MH＝MF，所以△MFH的周長可用MF表示，最后利用二次函數的性質解決問題；

（3）由＝，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當∠PAB=∠ABC時，2°當∠PAB=∠BAC時兩種情況討論即可得出答案．

（1）將，，代入，

解得，．

拋物線的解析式為．

頂點坐標為．

（2）由，得直線解析式為：

設M，則得

則

∵

∴有最大值，當時，最大值為2

將直線與軸交點記作，

易得

因為軸，∴

又∵，∴∽

∴

∴

所以的最大值為

（3） ，為公共角，

．

．

當時，，

，

，

，

．

當時，，

，

，

．

綜上所述滿足條件的點有，．