Question

如圖，已知四邊形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3。

（1）求直線BM的解析式；
（2）求過A、M、B三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，使△PMB構成以BM為直角邊的直角三角形？若沒有，請說明理由；若有，則求出一個符合條件的P點的坐標。

Answer 1

解（1）∵MO=MD=4，MC=3， ∴M、A、B的坐標分別為（0，4），（-4，0），（3，0） 設BM的解析式為y=kx+b， 則， ∴BM的解析式為； （2）設拋物線的解析式為， 則，解得a=b=-，c=4， ∴； （3）設拋物線上存在點P，使△PMB構成直角三角形。 分別過M、B作MB的垂線，它與拋物線的交點即為P點。 過M作MB的垂線與拋物線交于P，過P作PH⊥DC交于H， ∴∠PMB=90°， ∴∠PMH=∠MBC， ∴△MPH∽△BMC， ∴PH∶HM=CM∶CB=3∶4， 設HM=4a（a>0），則PH=3a， ∴P點的坐標為（-4a，4-3a）， 將P點的坐標代入得： ， 解得a=0（舍去），， ∴P點的坐標為。