Question

【題目】已知：矩形OABC的頂點O在平面直角坐標系的原點，邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸上，且OA=3cm，OC=4cm，點M從點A出發沿AB向終點B運動，點N從點C出發沿CA向終點A運動，點M、N同時出發，且運動的速度均為1cm/秒，當其中一個點到達終點時，另一點即停止運動．設運動的時間為t秒．

（1）當點N運動1秒時，求點N的坐標；(提示:過N作x軸y軸垂線，垂足分別為D,ECN:CA=CE:CO=NE:OA)

（2）試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數關系式；

（3）t為何值時，以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】（1）N的坐標為；

（2）多邊形OAMN的面積S=，（0≤t≤4）．

（3）t的值為，或．

【解析】試題分析：（1）過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸，由△CEN∽△COA，利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，確定N點坐標；（2）將多邊形OAMN分為△ONA和△AMN，用t分別表示兩個三角形的面積，再求和即可；（3）分為①直線ON為對稱軸，②直線OA為對稱軸，③直線AN為對稱軸，畫出圖形，根據菱形的特殊性，列方程求解．

試題解析：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1

過N作NE⊥y軸，作NF⊥x軸

過N作NE⊥y軸，NF⊥x軸，

∴△CEN∽△COA,

∴，即，

∴EN=．

由勾股定理得：，，

∴．

（2）由（1）得，∴，

∴N點坐標為．

∵多邊形OAMN由△ONA和△AMN組成

∴，，

∴多邊形OAMN的面積S=（0≤t≤4）.

（3）①直線ON為對稱軸時，翻折△OAN得到△OA′N，此時組成的四邊形為OANA′，

當AN=A′N=A′O=OA，四邊形OANA’是菱形．

即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．

②直線OA為對稱軸時，翻折△OAN得到△OAN′，

此時組成的四邊形為ONAN′，連接NN′，交OA于點G．

當NN′與OA互相垂直平分時，四邊形ONAN′是菱形．

即OA⊥NN′，OG=AG=，

∴NG∥CO，∴點N是AC的中點，

∴CN=，∴

③直線AN為對稱軸時，翻折△OAN得到△O′AN，

此時組成的四邊形為ONO′A，連接OO’，交AN于點H．

當OO′與AN互相垂直平分時，四邊形ONO’A是菱形．

即OH⊥AC，AH=NH=，

由面積法可求得OH=，

在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=．

∴，∴

綜上所述，t的值為．