Question

我們知道，當一條直線與一個圓有兩個公共點時，稱這條直線與這個圓相交．類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個公共點時，稱這條直線與這個正方形相交．
如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點為O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）．
（1）判斷直線y=

1

3

x+

5

6

與正方形OABC是否相交，并說明理由；
（2）設d是點O到直線y=-

3

x+b的距離，若直線y=-

3

x+b與正方形OABC相交，求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線AB的解析式是x=1，直線BC的解析式是y=1，求出這兩條直線與直線y=

1

3

x+

5

6

的交點，判斷交點是否在正方形的邊上，就可以判斷；
（2）當直線y=-

3

x+b經過點B時，直線與正方形只有一個公共點，可以求出d的值，當直線在B的下方，在經過O點的直線的上方時，直線與正方形相交．

解答：解：（1）相交．
∵直線y=

1

3

x+

5

6

與線段OC交于點（0，

5

6

），同時直線y=

1

3

x+

5

6

與線段CB交于點（

1

2

，1），
∴直線y=

1

3

x+

5

6

與正方形OABC相交；

（2）當直線y=-

3

x+b經過點B時，
即有1=-

3

+b，
∴b=

3

+1．
即y=-

3

x+1+

3

，
記直線y=-

3

x+1+

3

與x、y軸的交點分別為D、E，
則D（

3 +3

3

，0），E（0，1+

3

），
解法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA=

BA

AD

=

1

3 3

=

3

，
∴∠EDO=60°，∠OED=30度，
過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁=d₁，
在Rt△OF₁E中，
∵∠OED=30°，
∴d₁=

3 +1

2

；

法2：∴DE=

2

3

（3+

3

），
過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁=d₁，
∴d₁=

3 +3

3

×（1+

3

）÷

2

3

（3+

3

）=

3 +1

2

，
∵直線y=-

3

x+b與直線y=-

3

x+1+

3

平行，

法1：當直線y=-

3

x+b與正方形OABC相交時，一定與線段OB相交，且交點不與點O、B重合．
故直線y=-

3

x+b也一定與線段OF₁相交，記交點為F，則F不與點O、F₁重合，且OF=d，
∴當直線y=-

3

x+b與正方形相交時，
有0＜d＜

3 +1

2

；

法2：當直線y=-

3

x+b與直線y=x（x＞0）相交時，
有x=-

3

x+b，即x=

b

3 +1

，
當0＜b＜1+

3

時，0＜x＜1，0＜y＜1，
此時直線y=-

3

x+b與線段OB相交，且交點不與點O、B重合；
當b＞1+

3

時，x＞1，
此時直線y=-

3

x+b與線段OB不相交．
而當b≤0時，直線y=-

3

x+b不經過第一象限，即與正方形OABC不相交．
∴當0＜b＜1+

3

時，d隨b的增大而增大，則直線y=-

3

x+b與正方形OABC相交，
此時有0＜d＜

3 +1

2

．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，正確確定直線與正方形相交的位置是解決本題的關鍵．