Question

給定方程組

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，如果令

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，則方程組

A+B=1 B+C=2 A+C=5

由此解得

x=2 y=-1 z=3

，對不對，為什么？

Answer 1

分析：此題用換元法，將分式方程組轉化為整式方程組來解答，應解得

A=2 B=-1 C=3

；然后將A、B、C的值倒過來，解出x、y、z解出來．

解答：解：不對，沒有把解倒過來，應該為x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．
正確的解答過程為：

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，
設

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，
則原方程化為：

A+B=1 B+C=2 A+C=5

，
解得：

A=2 B=-1 C=3

，
∴x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．

點評：解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．