Question

（2012•閘北區一模）已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動點M和N分別在線段AB和AC邊上．
（l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）當AM=4時，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
（3）如圖2，當MN∥BC時，將△AMN沿MN折疊，點A落在四邊形BCNM所在平面的點為點E．設MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，進而得出AO的長，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B時，（如圖1）△AMN∽△ABC，②當∠AMN=∠C時，（如圖2）△AMN∽△ACB分別求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①當EN與線段AB相交時，設EN與AB交于點F（如圖3），②當EN與線段AB不相交時，設EN于BC交于點G（如圖4），分別求出即可．

解答：解：（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18．
∴OA=6

3

．
∴AC=

OC2+OA2

=

182+(6 3 )2

=12

3

．
∴cosC=

OC

AC

=

18

12 3

=

1

2

3

．

（2）∵cosC=

OC

AC

=

18

12 3

=

1

2

3

，
∴∠C=30°．
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

6 3

6

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°．
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B時，（如圖1）△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AB2=42：122 =1：9．
②當∠AMN=∠C時，（如圖2）△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AC2=42：(12

3

)2 =1：27．

（3）可以求得：S△ABC=

1

2

AO•BC=

1

2

×6

3

×12=36

3

．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴S△AMN：S△ABC=MN2：BC2．
∴S△AMN：36

3

=x2：122．
∴S△AMN=

1

4

3

x2．
①當EN與線段AB相交時，設EN與AB交于點F（如圖3），
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵將△AMN沿MN折疊，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴MF=

1

2

MN=

1

2

AM=

1

2

x．
∴S_△FMN：S_△AMN=MF：AM．
∴y：

1

4

3

x2=

1

2

x：x=1：2．
∴y=

1

8

3

x2(0＜x≤8)．
②當EN與線段AB不相交時，設EN于BC交于點G（如圖4），
∵MN∥BC
∴CN：AC=BM：AB．
∴CN：12

3

=(12-x)：12．
∴CN=12

3

-

3

x．
∵△CNG∽△CBA，
∴S△CNG：S△ABC=CN2：BC2．
∴S△CNG：36

3

=(12

3

-

3

x)2：122．
∴S△CNG=

1

4

3

(12

3

-

3

x)2．
∴S陰=S△ABC-S△AMN -S△CNG=36

3

-

1

4

3

x2 -

1

4

3

(12

3

-

3

x) 2．
即y=-

3

x2+18

3

x-72

3

(8＜x＜12)．
說明：①當EN與線段AB相交時，用計算MN邊上高的方法求y時，求出高為

1

4

3

x，得1分；
當EN與線段AB不相交時，用梯形面積公式求y時，求出梯形上底為（3x-24），得1分．
②定義域錯一個，不扣分；兩個全錯，扣1分．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據直線EN與線段AB位置關系進行分類討論得出是解題關鍵．