Question

（2011•石家莊二模）閱讀材料：
我們將能完全覆蓋平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．
例如：線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓．
操作探究：
（1）如圖1：已知線段AB與其外一點C，作過A、B、C三點的最小覆蓋圓；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）邊長為1cm的正方形的最小覆蓋圓的半徑是

2

2

cm；
如圖2，邊長為1cm的兩個正方形并列在一起，則其最小覆蓋圓的半徑是

5

2

cm；
如圖3，半徑為1cm的兩個圓外切，則其最小覆蓋圓的半徑是

2

cm．
聯想拓展：
⊙O₁的半徑為8，⊙O₂，⊙O₃的半徑均為5．
（1）當⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩外切時（如圖4），則其最小覆蓋圓的半徑是

40

3

；
（2）當⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃兩兩相切時，（1）中的結論還成立嗎？如果不成立，則其最小覆蓋圓的半徑是

13

，并作出示意圖．

Answer 1

分析：（1）連接AC作AC的垂直平分線EF，作AB 的垂直平分線MN交EF于點P，連接AP，以點P為圓心，以AP為半徑作圓．所以圓P是所求作的圓．
（2）邊長為1的正方形的最小覆蓋圓，就是以以正方形的對角線為直徑的圓，從而求出答案；而兩個正方形組合而成的矩形的最小覆蓋圓就是以矩形的對角線為直徑的圓；半徑為1的兩個外切圓的最小覆蓋圓就是以兩圓的半徑和為半徑的圓．
聯想拓展
（1）易知最小覆蓋圓的圓心在O₁O₂中垂線上，可得方程R=8+x=5+

(12-x)2+25

，求解即可；
（2）當⊙O₁與⊙O₂內切，⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂外切時，（1）結論不成立，則最小覆蓋圓的半徑是大圓的半徑加小圓的半徑．從而求出結果．

解答：操作探究：
解：（1）作圖為：
（2）①∵正方形的邊長為1，由勾股定理，得
正方形的對角線長為：

2

，
∴最小覆蓋圓的半徑是

2

2

；
②）∵矩形的長為2，寬為1，由勾股定理，得
矩形的對角線長為：

5

，
∴最小覆蓋圓的半徑是

5

2

；
③∵兩個半徑為1的圓外切，
∴最小覆蓋圓的半徑是2．
聯想拓展：
解：（1）如圖，O₁O₂=r₁+r₂=5+8=13=O₁O₃，
易知最小覆蓋圓的圓心在O₁O₂中垂線上，設為O．
設O₁O=x，則可以得到方程
R=8+x=5+

(12-x)2+25

解之得x=

16

3

所以R=8+x=

40

3

；
（2）由題意得示意圖為：
∴最小覆蓋圓的半徑是大圓半徑和小圓半徑的和．
∴最小覆蓋圓的半徑是13．
故答案為：

2

2

，

5

2

，2，

40

3

，13．

點評：本題考查了兩圓相切的性質，三角形的外接圓與圓心，正多邊形和圓的關系及中垂線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理的運用．