Question

如圖所示，以RtΔABC的直角邊AB為直徑作圓O，與斜邊交于點D,E為BC邊上的中點，連接DE.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）連接OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求sin∠CAE的值。

Answer 1

（1）連接OD、BD

∵ΔBDC是RtΔ, 且E為BC中點。

∴∠EDB=∠EBD.　　　　

又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°　　　

∴∠EDB+∠ODB=90°

∴DE是⊙O的切線；　　　

（2）∵∠EDO=∠B=90°,

若要AOED是平行四邊形，則DE∥AB,D為AC中點。

又∵BD⊥AC,

∴ΔABC為等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°.　　　　　　

過E作EH⊥AC于H.

設BC=2k，

則EH=

∴sin∠CAE=