Question

【題目】在直角三角形中，已知，內有一點，則的最小值為_______________________。

Answer 1

【答案】

【解析】

將△APB繞點A順時針旋轉60°至△AP′B′處，連接PP′，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB＝6，即AB′的長，再根據旋轉的性質求出△APP′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質可得AP＝PP′，然后可得C、P、P′、B′四點共線時，PA＋PB＋PC取最小值，再利用勾股定理列式求出CB′即可．

解：如圖，將△APB繞點A順時針旋轉60°至△AP′B′處，連接PP′，

∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，∠BAC＝30°，

∴AB＝6，

∴AC＝，

∵△APB繞點A順時針方向旋轉60°得到△AP′B′，

∴AP＝AP′，∠PAP′＝60°，AB′＝AB＝6，BP＝P′B′，∠B′AC＝∠BAC＋60°＝30°＋60°＝90°，

∴△APP′是等邊三角形，

∴AP＝PP′，

∴PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC，

∴當C、P、P′、B′四點共線時，PA＋PB＋PC取最小值，

此時PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC＝CB′＝，

故答案為：.