Question

在數學活動課上，同學們用一根長為1米的細繩圍矩形
小題1:小明圍出了一個面積為600㎝²的矩形，請你算一算，她圍成的矩形的長和寬各是多少？
小題2:小穎想用這根細繩圍成一個面積盡可能大的矩形，請你用所學過的知識幫他分析應該怎么圍，并求出最大面積．

Answer 1

小題1:設她圍成的矩形的一邊長為，
得：………………（2分），  
，
當x=20時，㎝；當x=30時，，……………（4分）
所以小芳圍成的矩形的兩鄰邊分別是20㎝，30㎝  ……………… （5分）
小題2:設圍成矩形的一邊長為，面積為，則有：，即，   …… ………… （7分 ）
當時，y_最大值=625；此時，，矩形成為正方形。即用這根細繩圍成一個邊長為25㎝的正方形時，其面積最大，最大面積是625

分析：（1）已知細繩長是1米，則已知圍成的矩形的周長是1米，設她圍成的矩形的一邊長為xcm，則相鄰的邊長是50-xcm．根據矩形的面積公式，即可列出方程，求解；
（2）設圍成矩形的一邊長為xcm，面積為ycm²，根據矩形面積公式就可以表示成邊長x的函數，根據函數的性質即可求解．
解答：解：（1）設她圍成的矩形的一邊長為xcm，
得：x（50-x）=600（2分），
解得x₁=20，x₂=30，
當x=20時，50-x=30cm；
當x=30時，50-x=20cm，（4分）
所以小芳圍成的矩形的兩鄰邊分別是20cm，30cm（5分）
（2）設圍成矩形的一邊長為xcm，面積為ycm²，
則有：y=x（50-x），
即y=-x²+50x，y=-（x-25）²+625（8分）
當x=25時，y_最大值=625；
此時，50-x=25，矩形成為正方形．
即用這根細繩圍成一個邊長為25cm的正方形時，其面積最大，最大面積是625cm²（10分）
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，比較簡單．并且通過本題要理解，最值問題的解決方法一般是轉化為函數問題．