Question

【題目】（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC=45，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F為BC中點，BE與DF、DC分別交于點G、H，∠ABE=∠CBE。

（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）BH=AC,（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由CD⊥AB知∠BDC=∠BEC，因為∠ABC=45，所以∠ABC=∠BCD ，故CD="BD" 又因BE⊥AC所以∠ACD,∠ABE都是∠A的余角故相等，因此可證△DBH≌△DCA所以BH=AC

（2） 連接GC，根據“等腰三角形三線合一”的性質：由BE⊥AC，∠ABE=∠CBE可得AE=CE

BF=FC,BD=CD得BG=CG因為GC2-GE2=CE2.所以BG2-GE2=EA2

試題解析：（1）BH="AC"

證明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90, ∠ABC=45,

∴∠BCD=45=∠ABC,

∴DB=DC.

又∵∠BHD=∠CHE

∴∠DBH=∠DCA

∴△DBH≌△DCA

∴BH=AC.

（2）證明：連接GC，∴GC2-GE2=CE2.

∵F為BC的中點，DB=DC

∴DF垂直平分BC，

∴BG=GC，∴BG2-GE2=EC2

∵∠ABE=∠CBE ∴EC="EA"

∴BG2-GE2=EA2