Question

在底面積為l00cm²、高為20cm的長方體水槽內放人一個圓柱形燒杯（燒杯本身的質量、體積忽略不計）．如圖所示．向燒杯中注入流量一定的水．注滿燒杯后．繼續注水．直至注滿槽為止（燒杯在大水槽中的位置始終不改變）．水槽中水面上升的高度h與注水時間t之間的函數關系如圖所示． 
（1）求燒杯的底面積； 
（2）若燒杯的高為9cm，求注水的速度及注滿水槽所用的時間；
（3）寫出h關于t的函數關系式及自變量的取值范圍．

Answer 1

解：設燒杯的底面積為Scm²、高為h₁cm，注水速度為vcm³/s，注滿水槽所用時間為t₀s．
（1）由函數圖象得出，當注水18s時，燒杯剛好注滿；當注水90s時，水槽內的水面高度恰好是h₁cm（即燒杯高度），
Sh₁=18v，100h₁=90v，
則100h₁=90×Sh₁，
即S=20．
所以燒杯的底面積為20cm²．

（2）若h₁=9，則v==×20×9=10．
所以注水速度為10cm³/s．
由vt₀=100×20，解得t₀=200．
因此，注滿水槽所用時間為200s．

（3）①h=0（0≤t＜18），
②由（2）得出：18≤t＜90時，圖象過（90，9），（18，0），代入解析式y=kx+b，
，
解得：，
h=-（18≤t＜90），
③由（2）得出：90≤t＜200時，圖象過（200，20），（90，9），
代入解析式y=kx+b，
，
解得：
h=（90≤t＜200）．
分析：（1）由函數圖象及已知可計算出將水槽中的水注入至與圓柱體等高時所需水量為90V÷18．
（2）當注水18s時，燒杯剛好注滿；當注水90s時，水槽內的水面高度恰好是hm，這時水的體積為100h，據100h=90×Sh，求出S；
（3）根據（2）中數據，分別根據t的取值范圍得出h與t的關系時即可．
點評：此題考查的是一次函數的應用，在此題中作圖關鍵是聯系實際的變化，確定點的坐標進而得出函數解析式即可．