Question

自我操作：如圖1所示，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O，利用此圖，作一對以點O為對稱中心的全等△MOA和△NOB，并使A、B兩點都在直線PQ上。（只保留作圖痕跡，不寫作法）

（1）探究1：如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為BC的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC相交于點F，試探究線段AB與AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）探究2：如圖3所示，DE，BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB。試探究線段AB與DF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）發(fā)現(xiàn)：如圖3所示，DE，BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB。則線段AB與DF，CF之間的等量關(guān)系為_____。

Answer 1

解：探究1：AB=AF-CF；
延長AE、DF相交于點M
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，∠B=ECM，
又因為BE=CE，
∴△AEB≌△CEM，所以AB=CM，
又因為∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
∴AB=CM=FM-CF=AF-CF；
探究2：分別延長DE，CF交于點G，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE≌△GCE，
所以，，又∵，所以，即CG=2AB，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
所以，F(xiàn)G=DF，
∴2AB=GC=FG+CF=DF+CF；
發(fā)現(xiàn)：nAB=DF+CF。