Question

如圖，D是△ABC的邊BC上一點，DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F，且DE=DF．
（1）下列結論中正確的有______（填上所有正確結論代號）
①AD是△ABC的中線     
②AD是△ABC的角平分線
③S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC
④AE=AF．
（2）在圖中連接EF，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是△ABC的角平分線，
故②正確；
∵S_△ABD：S_△ACD=（AB•DF）：（AC•DE）=AB：AC=BD：DC，
故③正確；
∵∠DAF=∠DAE，∠AFD=∠AED=90°，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF；
故④正確；
∵BD不一定等于CD，
∴①錯誤；
故答案為：②③④；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠ABC的平分線，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF．
分析：（1）由DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F，且DE=DF，根據角平分線的判定，即可證得AD是△ABC的角平分線；由三角形的面積公式，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，即可證得S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC；易證得∠ADF=∠ADE，然后由角平分線的性質，可證得AE=AF；
（2）根據（1）可證得AD是△ABC的角平分線且AE=AF，然后由三線合一，可證得AD垂直平分EF．
點評：此題考查了角平分線的性質與判定以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．