Question

如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）．設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB，即可證出OP=OQ．
（2）本題需先根據已知條件得出∠A的度數，再根據AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的長，再根據四邊形PBQD是菱形時，證出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O為BD的中點，
∴OB=OD，
在△POD與△QOB中，
∵

∠PDO=∠QBO OB=OD ∠POD=∠QOB

∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；

（2）解：PD=8-t，
∵四邊形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-t，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得：t=

7

4

，
即運動時間為

7

4

秒時，四邊形PBQD是菱形．

點評：本題主要考查了矩形的性質，在解題時要注意與全等三角形、矩形的知識點結合起來是解本題的關鍵．