Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數軸，且半⊙P與數軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數軸；位置Ⅲ中的MN在數軸上；位置Ⅴ中的點N到數軸的距離為3，且半⊙P與數軸相切于點A．
（1）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，點N所經過路徑長為

2π

；
（2）線段OA的長為

5

3

π+4

．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據弧長公式以及MN=4，∠NMP=90°，求出即可．
（2）作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，
根據sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，即可∠NPH、∠MPA的度數，進而可得出

AM

的長，

解答：解：（1）根據MN=4，位置Ⅳ中的MN垂直于數軸，
故紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，點N所經過路徑長為：

90π×4

180

=2π；

（2）如圖，作NC垂直數軸于點C，作PH⊥NC于點H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而

AM

的長為

60π×2

180

=

2π

3

，于是OA的長為π+4+

2π

3

=

5

3

π+4．
故答案為：（1）2π；（2）

5

3

π+4．

點評：本題考查的是直線與圓的關系、弧長的計算、扇形的面積公式，根據銳角三角函數得出∠NPH、∠MPA的度數是解題關鍵．