Question

某同學用兩個完全相同的直角三角尺重疊在一起（如圖①）固定△ABC不動，將△DEF沿線段AB向右平移．
（1）若∠A=60°，斜邊AB=4，設AD=x，兩個直角三角尺重疊部分的面積為y，試求出y與x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當D移至到什么位置時．四邊形CDBF是菱形，并加以證明；
（3）當D移至AB中點時（如圖②），四邊形CDBF能否為正方形？若能，請你說明理由；若不能，請你添加一個條件說明四邊形CDBF為正方形？

Answer 1

分析：（1）根據平移的性質得到DF∥AC，所以由平行線的性質、勾股定理求得GD=

4-x

2

，BG=

BD2-DG2

=

3 (4-x)

2

，所以由三角形的面積公式列出函數關系式；
（2）當D移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形．根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知
CD=

1

2

AB，BF=

1

2

DE．所以AD=CD=BD=CF，又由BE=AD，則CD=BD=BF=CF，故四邊形CDBF是菱形；
（3）不能為正方形，添加條件：AC=BC時，四邊形CDBF為正方形．根據有一內角為直角的菱形是正方形來添加條件．

解答：解（1）如圖①∵DF∥AC，
∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°
∵BC=4-x，
∴GD=

4-x

2

，BG=

BD2-DG2

=

3 (4-x)

2

y=S_△BDG=

1

2

×

4-x

2

×

3 (4-x)

2

=

3 (4-x)2

8

（O≤x≤4）；

（2）當D移至AB的中點時，四邊形CDBF是菱形．
證明：∵∠ACB=∠DFE=90°，D是AB的中點
∴CD=

1

2

AB，EF=

1

2

DE
∴CD=BD=BF=BE
∵CF=BD
∴CD=BD=BF=CF
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）不能為正方形，添加條件：AC=BC時，四邊形CDBF為正方形．
證明：∵AC=BC，D是AB的中點．
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四邊形CDBF為菱形，
∴四邊形CDBF是正方形．

點評：本題是幾何變換綜合題型，主要考查了平移變換的性質，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定與性質以及直角三角形斜邊上的中線．（2）難度稍大，根據三角形斜邊上的中線推知CD=BD=BF=BE是解題的關鍵．