Question

如圖，已知拋物線y=x²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y
軸交于點C（0，－3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．
⑴求拋物線的函數表達式；
⑵求直線BC的函數表達式；
⑶點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
①當線段PQ=AB時，求tan∠CED的值；
②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．
溫馨提示：考生可以根據第⑶問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．

Answer 1

⑴∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴
∴b=－2．
∵拋物線與y軸交于點C（0，－3），
∴c=－3，
∴拋物線的函數表達式為y=x²－2x－3．
⑵∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
當y=0時，x²－2x－3=0．
∴x₁=－1,x₂=3.
∵A點在B點左側，
∴A（－1，0），B（3，0）
設過點B（3，0）、C（0，－3）的直線的函數表達式為y=kx＋m，
則，∴
∴直線BC的函數表達式為y=x－3．
⑶①∵AB=4，PO=AB，
∴PO=3
∵PO⊥y軸
∴PO∥x軸，則由拋物線的對稱性可得點P的橫坐標為，
∴P（，）

∴F（0，），
∴FC=3－OF=3－=．
∵PO垂直平分CE于點F，
∴CE=2FC=
∵點D在直線BC上，
∴當x=1時，y=－2，則D（1，－2）．
過點D作DG⊥CE于點G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE－CG=－1=．
在Rt△EGD中，tan∠CED=．
②P₁（1－，－2），P₂（1－，）．

解析