Question

已知：如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，D是⊙O上的點，且有AC=CD．過點C作⊙O的切線，與BD的延長線交于點E，連接CD．
（1）試判斷BE與CE是否互相垂直，請說明理由；
（2）若CD=2

5

，tan∠DCE=

1

2

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）由題意易得∠ACB=90°，通過求∠BEC=∠ACB=90°來證明BE⊥CE．
（2）根據∠DCE=∠DBC=∠ABC，tan∠DCE=

1

2

可先求得AC=CD=2

5

，BC=4

5

，再根據勾股定理可求得AB的值，就可求出⊙O的半徑長．

解答：解：（1）∵AB為直徑
∴∠ACB=90°
∵AC=CD，
∴∠ABC=∠CBE，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠BCE=∠A，
∴∠BEC=∠ACB=90°
∴BE⊥CE．

（2）∵CE是切線，AC=CD，
∴∠DCE=∠DBC=∠ABC，tan∠DCE=

1

2

∴tan∠ABC=

1

2

∵AC=CD=2

5

∴BC=4

5

∴AB=10
∴⊙O的半徑等于5．

點評：本題綜合考查了切線的性質和圓周角的性質．