Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點在第四象限，頂點到x軸的距離為3，拋物線與x軸交于原點O（0，0）及點A，且OA=4．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若線段OA繞點O順時針旋轉45°到OA′，試判斷點A′是否在該拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意可知：拋物線的頂點坐標為（2，﹣3），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣3，

由于拋物線經過原點，

即4a﹣3=0，

解得a= ．

故拋物線的解析式為y= （x﹣2）2﹣3

（2）解：設點A′坐標為（x，y），

則直線OA′的解析式為y=﹣x①，

根據旋轉的性質可知：OA′=OA=4，

即x2+y2=16②，

由①②可得x=2 ，y=﹣2 ，

即點A′坐標為（2 ，﹣2 ），

把點A′坐標為（2 ，﹣2 ）代入解析式y= （x﹣2）2﹣3；

﹣2 ≠ （2 ﹣2）2﹣3，

即點A′不在該拋物線上

【解析】（1）首先求出拋物線的頂點坐標，設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+3，由于拋物線經過原點，進而求出a的值即可；（2）設點A′坐標為（x，y），先求出直線OA′的解析式，根據OA′=OA=4，求出點A′的坐標，進而判斷點A′是否在該拋物線上．