Question

【題目】已知☉O上兩個定點A、B和兩個動點C、D，AC與BD交于點E。

(1)如圖1，求證EA·EC=EB·ED

(2)如圖2，若弧AB=弧BC,AD是☉O的直徑，求證；AD·AC=2BD·BC

(3)如圖3，若AC上BD,BC=3，求點0到弦AD的距離。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）如圖1，根據兩角對應相等證明△ABE∽△DCE，可得結論；

（2）如圖2，連接OB交AC于F，證明△ABF∽△DAB列比例式，由垂徑定理得：AF=

AC，由等弧所對的弦相等得：AB=BC，代入比例式可得結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建直角三角形，根據三角形的中位線定理得：OG為△ADF的中位線，則OG=DF，由∠EDC+∠ECD=90°和∠FAD+∠AFD=90°，再由同弧所對的圓周角相等得：∠EDC=∠FAD，所以,求出BC=DF=3，從而得結論．

試題解析：（1）∵∠BAC=∠CDB,∠AEB=∠DEC

∴△ABE∽△DCE

∴

∴

(2)如圖，

連接OB交AC于F，

∵OB=OA，

∴∠ABF=∠BAD，

∵，

∴∠BAF=∠BDA,

∴△ABF∽△DAB，

∴，

∴AFAD=ABBD，

∵，O是圓心，

∴AF=AC，AB=BC，

∴ACAD=BCBD，

∴ADAC=2BDBC；

(3)如圖，連接AO并延長交O于F，連接DF，過O作OG⊥AD于G，

∴AG=DG，

∵AO=OF,

∴OG為△ADF的中位線，

∴OG=DF，

∵AC⊥BD，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵AF是O的直徑，

∴∠ADF=90°，

∴∠FAD+∠AFD=90°，

∵∠AFD=∠ECD，

∴∠EDC=∠FAD，

∴，

∴BC=DF=3，

∴OG=，

∴點O到弦AD的距離是.