Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，以AD為底邊作等腰△ADE，將△ADE沿DE折疊，點A落到點F處，連接EF剛好經過點C，再連接AF，分別交DE于G，交CD于H．在下列結論中：
①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH ，
其中正確的結論有（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖，連接AC、以D為圓心DA為半徑畫圓．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°

∵△DEF是由△DEA翻折得到，

∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，

∴∠AFC= ∠ADC=45°

∴∠EFA=∠EAF=45°，

∴∠AEF=90°，

∴∠DEF=∠DEA=45°，

∵EA=ED=EF，

∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，

∴∠DAF=∠DFA=22.5°，

∴∠ADF=180°﹣∠DAF﹣∠DFA=135°，

∴∠CDF=∠ADF﹣∠ADC=45°，

∴∠DCF=180°﹣∠CDF﹣∠DFC=67.5°，

∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，

∴∠HCF=∠FHC，

∴△CFH是等腰三角形，故③正確．②錯誤，

∵∠ACD=∠CDF，

∴AC∥DF，

∴S△DFA=S△FDC，

∴S△ADH=S△CHF，故⑤正確，

∵EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠BAM=∠CDN，

在△ABM和△DCN中，

，

∴△ABM≌△DCN，故①正確，

在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，

∴CE=CK＜CF，

∴CE≠CF故④錯誤．

∴①③⑤正確，

選B．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．