Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB＝2，BC＝，點E在邊CD上移動，連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB′C′E，點B、C的對應點分別為點B′、C′．

（1）當點E與點C重合時，求DF的長；

（2）若B′C′分別交邊AD，CD于點F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面積；

（3）如果點M為CD的中點，那么在點E從點C移動到點D的過程中，求C′M的最小值.

Answer 1

【答案】(1) DF=；(2) ；(3) 4-

【解析】

（1）根據特殊直角三角形求出∠FCD=30°, 在Rt△CDF中利用三角函數即可求解,

（2）由旋轉的性質證明△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,求出DF的長即可解題,

（3）找到C′,在Rt△ADM中和Rt△A B′C′中,勾股定理求出AM和A C′的長即可解題.

解：（1）如下圖,

∵四邊形ABCD是矩形, AB＝2，BC＝，

∴易證∠ACB=30°,

由旋轉可知∠ACF=30°,

∴∠FCD=30°,

在Rt△CDF中,DF=tan30°CD=,

（2）如下圖,由旋轉可知,AB= AB′=2,BC= B′C′=,

∵∠DAE＝22.5°，

∴∠BAE=67.5°,∠B′AF=45°,

∴△DFG,△EG C′是等腰直角三角形,

∴AF=2,DF=-2,

S△DFG=DF2=,

（3）連接AM并延長到點C′,連接A C′,M C′即為所求,見下圖,

∵M為CD的中點,

∴DM=1,

在Rt△ADM中,AM=,

在Rt△A B′C′中, A C′=4,

∴M C′=4-.