Question

【題目】（14分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG=AD，動點M從A出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A、G重合），設運動時間為t秒。連接BM并延長交AG于N。

（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由；

（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=NH；

（3）過點M分別用AB、AD的垂線，垂足分別為E、F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）當t=秒時，S的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）△ABM為等腰三角形有三種情況，①AM=BM，②AB=BM,③AM=AB，根據這三種情況確定M的位置.（2）根據同角的的余角相等可證∠ABN=∠DNH，再證∠BKN=∠NDH=135，BK=DN，利用ASA可判定△BNK≌△NHD，進而根據全等三角形的對應邊相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF與△ACG重疊部分分兩種情況，①當點M在AC上時，即0<t≤時，當點M在CG上時，即<t<時,分別求出在這兩種情況時矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積S與運動時間t之間的函數關系式，利用二次函數的性質求得這兩種情況各自的最大值，再進行比較，找出最大的即為本題答案.

試題解析：

（1）當點M為AC中點時，有AM=BM,則△ABM為等腰三角形；

當點M與點C重合時，AB=BM,則△ABM為等腰三角形；

當點M在AC上且AM=2時，AM=AB,則△ABM為等腰三角形.

證明：在AB上取點K,使AK=AN，連接KN.

∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.

又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH=45，∴∠NDH=90+45=135.

∴∠BKN=180-∠AKN=135,∴∠BKN=∠NDH.

∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90，又BN⊥NH,即∠BNH=90

∴∠ANB+∠DNH=180-∠BNH=180-90=90

∴∠ABN=∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA）,∴BN=NH.

①當點M在AC上時，即0<t≤時，易知：△AMF為等腰直角三角形.

∵AM=t,∴AF=FM=.

∴S=.

當點M在CG上時，即<t<時,CM=t-,MG=-t.

∵AD=DG,∠ADC=∠CDG,CD=CD,

∴△ACD≌△GCD（SAS）,

∴∠ACD=∠GCD=45

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90

∴∠G=90-∠GCD=90-45=45

∴△MFG為等腰直角三角形.

∴

②在0<t≤范圍內，當t=時，S的最大值為.

在<t<范圍內，，當時，S的最大值為.

∵

∴當t=秒時，S的最大值為.