Question

【題目】（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點(diǎn)A為OM上一點(diǎn)，點(diǎn)B為OP上一點(diǎn)．請你利用該圖形在ON上找一點(diǎn)C，使△COB≌△AOB，請?jiān)趫D①畫出圖形．參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？請你直接作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）DF=EF，理由見解析；（3）DF=EF 仍然成立，理由見解析.

【解析】（1）在∠MON的兩邊上以O(shè)為端點(diǎn)截取相等的兩條相等的線段，兩個(gè)端點(diǎn)與角平分線上任意一點(diǎn)相連，所構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等，即△COB≌△AOB；

（2）根據(jù)圖（1）的作法，在CG上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根據(jù)圖（1）的作法，在CG上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF（SAS），得出FE=FG；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得DF=FG，故得出EF=FD．

解：（1）如圖①所示，△COB≌△AOB，點(diǎn)C即為所求．

（2）如圖②，在CG上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG=CD，∠DCF=∠GCF，CF=CF，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）==60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

∠AFE=∠AFG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（3）DF=EF 仍然成立．

證明：如圖③，在CG上截取AG=AE，

同（2）可得△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA．

又由題可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=60°，

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（2）可得△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG，

∴FE=FD．

“點(diǎn)睛”此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形.