Question

如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連結AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

解答下列問題：

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖，線段CF、BD之間的位置關系為________，數量關系為________．

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖，①中的結論是否仍然成立，為什么？

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC(點C、F重合除外)？畫出相應圖形，并說明理由．(畫圖不寫作法)

(3)若AC＝4，BC＝3，在(2)的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①CF⊥BD，CF＝BD 　　②成立，理由如下： 　　∵∠FAD＝∠BAC＝90°　∴∠BAD＝∠CAF 　　又BA＝CA　AD＝AF 　　∴△BAD≌△CAF 　　∴CF＝BD　∠ACF＝∠ACB＝45° 　　∴∠BCF＝90°　∴CF⊥BD　　(1分) 　　(2)當∠ACB＝45°時可得CF⊥BC，理由如下： 　　如圖：過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G 　　則∵∠ACB＝45°　∴AG＝AC　∠AGC＝∠ACG＝45° 　　∵AG＝AC　AD＝AF　　(1分) 　　∴△GAD≌△CAF(SAS)　∴∠ACF＝∠AGD＝45° 　　∴∠GCF＝∠GCA＋∠ACF＝90°　∴CF⊥BC　　(2分) 　　(3)如圖：作AQBC于Q