Question

【題目】在中，，，點是直線上一動點，點是直線上動點，點是直線上一動點，且，．

（1）如圖1，當點，，分別在，，邊上時，請你判斷線段，，之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論；

（2）如圖2，當在延長線上，在延長線上，在延長線上時，（1）中的結論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請判斷線段，，之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論；

（3）若，當時，請直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）結論不成立；，證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據角的和差得出，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，從而可得，然后根據等腰三角形的判定與性質可得，最后根據等量代換即可得；

（2）如圖（見解析），先根據角的和差可得，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，，然后根據等腰三角形的性質可得，最后根據線段的和差、等量代換即可得；

（3）分點F在線段AB上和點F在BA的延長線上兩種情況，先根據線段的和差可得，再結合（1）和（2）的方法和結論可得，，之間的數量關系等式，然后分別聯立求解即可得．

（1），證明如下：

如圖，過點D作于點G

，

在和中，

，

是等腰直角三角形，且

即；

（2）（1）中的結論不成立，，證明如下：

如圖，過點作的垂線，交延長線于點，則

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴，

∵，

∴

∴

∴

即；

（3），

因此，分以下兩種情況：

①如圖3-1，點F在線段AB上

由（1）可知，，即

聯立，解得

②如圖3-2，點F在BA的延長線上

過點D作于點N

同（1）和（2）可證：

又

聯立，解得

綜上，或．